错排问题（Derangement）

概念释义

又叫错位排列、重排，即使一个排列所有的元素都不在原来的位置上。

错排问题是组合数学发展史上的一个重要问题，错排数也是一项重要的数。令 \({ a_k } ( 1 \leq k \leq n )\) 是 \(n,n\epsilon N\) 的一个错排，如果每个元素都不在其对应下标的位置上，即 \(a_k \neq k\) ，那么这种排列称为错位排列，或错排、重排（Derangement）。

             ————————摘自《百度百科》

简要分析

我们来看一个最为经典的错排问题，信封问题：共有 \(n\) 张信和 \(n\) 个信封，假设所有信都装错了信封，共有多少种情况？

我们先定义 \(f(n)\) 为当有 \(n\) 个信封和 \(n\) 张信时，有 \(f(n)\) 种错排方案。

当 \(n = 1\) 时，信只能放在它对应的信封中，不可能出现错排情况。

故 \(f(1) = 0\)。

当 \(n = 2\) 时，只存在一种情况，即两张信交换位置。

故 \(f(2)=1\)。

当 \(n = 3\) 时，存在着 \(3、1、2\) 和 \(2、3、1\) 两种情况，我们可以将其看为 1 与 2 错排，3 与 1、2 交换位置得来的。

故 \(f(3)=2\)。

当 \(n = 4\) 时，错排有：

4 3 2 1，4 1 2 3，4 3 1 2，

//第一列是 \(4\) 分别与 \(123\) 互换位置，其余两个元素错排。

3 4 1 2，3 4 2 1，2 4 1 3，

//第二列是 \(4\) 分别与 \(312\)（ \(123\) 的一个错排）的每一个数互换

2 1 4 3，3 1 4 2，2 3 4 1。

//第三列则是由另一个错排 \(231\) 和 \(4\) 换位而得到

共 \(9\) 种情况。

根据上面的注释得知， \(f(n)\) 的值与 \(f(n-1)\) 、\(f(n-2)\) 的值有一定的关联。

那我们能否得出递推式呢？答案是肯定的。

公式推导

首先，

\(1\) 号元素必定要排在第 \(2\sim n\) 个位置的其中之一，所以有 \(n-1\) 种放法。

然后，

假设 \(1\) 号元素放在了第 \(k\) 个位置，那么下一步就要排 \(k\) 号元素。

再然后，

\(k\) 号元素的排列有两种方式：

一是放在第 \(1\) 个位置，剩下的 \(n-2\) 个元素进行错排，共有 \(f(n-2)\) 种可能；

二是不放在第 \(1\) 个位置，这时我们将第 \(1\) 个位置看作第 \(k\) 个位置，于是就形成了包括 \(k\) 号元素在内的 \(n-1\) 个元素的错排，共有 \(f(n-1)\) 种可能。

所以，\(k\) 号元素共有 \(f(n-1)+f(n-2)\) 种可能。

又因为第一号元素有 \(n-1\) 种放法，根据乘法原理。

我们得知，

递推式为：

\(f(n) =(n-1) \times (f(n-1)+f(n-2) )\)。

以上就是基础错排问题的全部内容了（当然只是基础部分的全部内容）

练习题

P1595 信封问题

这是一道模板题，只要你知道递推式便可以做对。此题也可以使用深度优先搜索来 AC 掉这道题。

不过需要注意的是，错排方案的增长非常快。
\(n = 13\) 时 \(int\) 会爆掉，\(n = 22\) 时 \(f(n)\) 的值就已经达到了约 \(7\times 10^{18}\) , 在 \(n = 23\) 时 \(long\) \(long\) 会爆掉。

也就是说，在处理错排问题时一定要开 \(long\) \(long\)。

当题目给出 \(n > 20\) 的范围时，我们就应该使用高精度算法了（Python、Java等略过）。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

long long f(long long x)//一定要开long long
{
	if( x == 1 )
		return 0;
	else if( x == 2 )
		return 1;
	else
		return (x-1)*(f(x-1)+f(x-2));
}

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	cout<<f(n);
	return 0;
}

P3182 [HAOI2016]放棋子

这道题也是一道裸错排题，不过数据到了 \(200\) ，必定需要高精度。

具体代码笔者不再展示，留作读者思考。