预备知识梳理
本文中设定 block size 与 page size 大小相等。
什么是 Block
文章的开始先解释一下，磁盘的数据读写是以扇区 (sector) 为单位的，而操作系统从磁盘上读写数据是以块 (block) 为单位的，一个 block 由若干个连续的 sector 组成，使用 block 代替 sector 能够提升读写速度，相应的空间碎片会变得更大，是一种空间换时间的应用。
如何从磁盘上读取一个字节？
- 移动磁臂到指定的柱面。
- 移动磁头到指定的磁道。
- 磁盘旋转到指定的扇区。
- 加载扇区的数据到内存。
- 从内存中读取一个字节。
什么是 Page
为了更高效率的利用物理内存，会将其划分为若干个页 (page)，page 和 block 都是操作系统层面的概念，而不是硬件层面，一般来讲二者的大小相等。
什么是 Buffer
有一种特殊的 page 为 buffer page，buffer page 中存在若干个大小相等的 buffer，每个 buffer 对应一个 block，如果 page 和 block 大小相等，那就是一个 buffer page 对应一个 block。
之所以要有 buffer，是因为内存和磁盘的读写速率相差过大，应用从磁盘上读数据时，数据会先批量载入一部分到 buffer 中，应用再从 buffer 中读取数据。
什么是 5 分钟法则
假设 1 个磁盘的价格为 30000 元，支持每秒访问 15 次，那么可以认为每秒访问 1 次磁盘的成本为 2000 元，也就是每秒从磁盘上读取 1 个 block 的成本为 2000 元，记为 2000/block/second。
假设 1 个内存的价格为 5000 元，大小为 4 MB，即该内存上约有 1000 个 page，那么可以认为 1 个 page 的成本约为 5 元，记为 5/page。
假设有 4KB 的数据存储在磁盘上，读取它的频率为 1 秒 10 次。则每秒的成本是 20000 元。如果将它记录在内存中，则每秒的成本是 5 元，因此选择将数据记录在磁盘上是更经济的选择。不难算出，当读取频率为 1 秒 0.0025 次，即 400 秒 1 次时，成本都是 5 元，是经济和不经济的临界点。那么如何计算这个临界点呢？
设：
- P：1MB 内存中有多少个 page。
- A：磁盘支持每秒访问多少次，即每秒读取多少个 page。
- D：磁盘驱动器价格。
- M：1MB 内存的成本。
- I：数据读取频率为多少秒 1 次。
当：
\[\frac{D/A}{I} = \frac{M}{P} \]
时，为经济和不紧急的临界点，代入上述数据：
\[\frac{30000/15}{I} = \frac{5000/4}{1000/4} \]
得出 I = 400 秒，约等于 5 分钟，即当存储设备价格为上述情况时，访问频率高于 5 分钟 1 次的数据应该记录在内存中，实际应用时，可以将从磁盘读到的数据记录到内存上，并设置 5 分钟的生存时间，如果 5 分钟内再次读取该数据，则刷新生存时间，否则从内存中删除。
最终我们可以得出生存时间（访问频率）的计算公式为：
\[I = \frac{P \times D}{A \times M} \]
10 年后的 5 分钟法则
上面的 5 分钟法则是 Jim Gary 在 1987 年提出的，10 年后，Jim Gary 又使用了 1997 年的存储器价格进行计算，得出 10 年后的 5 分钟法则依然适用。
我们可以把 P/A 看作技术比率，D/M 看作经济比率，论文中统计了 1980 – 2000 的存储器数据，发现技术比率缩减至十分之一，经济比率放大了十倍，可以看出，虽然存储器一直在发展，但是 5 分钟法则计算得出的结果依旧是稳定的。
磁盘顺序访问
上面提到的 5 分钟法则，是只读取 1 个 block 大小的数据，即随机读取数据。当顺序读取数据时，也就是读取超过 1 个 block 的数据，由于顺序读取不需要移动磁臂磁头、旋转盘面，速度是远远大于随机读取的，因此顺序读取不再适用 5 分钟法则。
如果顺序读取数据后不会再次读取，就不需要记录（缓存）数据到内存，系统只需要足够的 buffer 让磁盘上的数据加载到内存上。一般来说 buffer 的大小不会超过 1MB。
这里的不需要记录到内存是指不需要常驻内存以待后续访问，而通过 buffer 加载磁盘数据到内存是指应用读取数据并处理。
如果顺序读取数据后还会再次读取，例如数据库中的 sort、cube、rollup、join 操作都有这种行为。下面以 sort 为例分析顺序访问操作。
两阶段排序
正常的排序是：先读数据，再排序，再写数据，这样的过程称为单阶段排序。如果数据过多无法全部载入内存，则会采用两阶段排序，第一阶段划分所有数据为若干个子数据集，并分别排序；第二阶段归并所有子排序结果，示意图如下。
两阶段排序的内存需求可以由下面的式子描述：
\[6 \times buffer\_size + \sqrt{3 \times buffer\_size \times file\_size} \]
推导过程：
- 第一阶段产生 file_size/memory_size 个子数据集，假设 1MB 内存，10MB 大小数据集，那就划分为 10 个大小为 1MB 的子数据集，刚好可以在内存中排序。
- 第二阶段归并 memory_size/buffer_size 个子排序结果，一个 buffer 对应一个子数据集，假设 buffer 大小为 256KB，则一次归并 4 个子排序结果，注意这里的 buffer 和文章开始提的 buffer 不一样，这里的 buffer 是应用管理的，文章开始提的 buffer 是操作系统管理的。
在排序的设计中，file_size/memory_size 和 memory_size/buffer_size 应该是相等的。
\[\frac{file\_size}{memory\_size} = \frac{memory\_size}{buffer\_size} \]
由此可以得出 memory_size 的计算公式：
\[memory\_size = \sqrt{file\_size \times buffer\_size} \]
这里的 memory_size 对应上图中 Input Buffer 的大小，公式中更好项外面的 buffer_size 对应上图中 Output Buffer 的大小，常数 3 和 6 取决于特定的排序算法。
1 分钟顺序法则推导
对于相同大小的待排序数据来说，单阶段排序的磁盘读写次数是两阶段排序的一半，但是两阶段排序相比于单阶段排序只需要更小的内存。当内存大小足够进行单阶段排序时，我们是选择单阶段排序还是两阶段排序呢？
这个问题也是 5 分钟法则公式的一个应用，1997 年的硬件规格如下：
- P：128 pages/MB
- A：64 access/second/disk
- D：2000 $/disk
- M：15 $/MB
但是由于排序是顺序访问数据，因此 P/A 技术比率不应该按照硬件参数带入公式，已知磁盘顺序访问的平均速率在 5MB 每秒，如果 P 是 16 pages/MB，那么 A 就是 5*16 = 80 access/second/disk（访问一次是 1 个block 对应 1 个 page），也就是 P/A 为 0.2，带入公式：0.2*2000/15 = 26。
计算得到 I = 26，表示 26 秒 1 次的访问频率为盈亏临界值。但是排序既需要读也需要写，IO 成本增加一倍，盈亏临界值应该在 52 秒，近似为 1 分钟。
因此可以得出一分钟顺序法则：如果数据顺序访问频率高于 1 分钟 1 次，应当使用内存来缓存数据。
举个例子，单阶段排序的计算速度大概在 5GB 每分钟，根据一分钟顺序法则，小于 5GB 的数据应当使用单阶段排序。当数据大小超过了 5GB，则应该使用双阶段排序。
这里解释一下，这里的 5GB 每分钟是计算速度，对于 5GB 及以下的文件，一次性读取全部数据到内存后，1 分钟以内可以排序完成，因此访问频率是高于 1 分钟 1 次；如果是 10 GB 的数据，一次性读取数据后，需要 2 分钟才可以排序完成，因此访问频率是 2 分钟 1 次。还需要注意的是，写回数据的问题是在 26*2 = 56 时体现的。
类似的，该法则也适用于其他顺序操作，例如 group by、rollup、cube、hash join、index build 等等。
总结
对于随机访问的数据，访问频率高于 5 分钟 1 次，就缓存在内存中；对于顺序访问的数据，访问频率高于 1 分钟 1 次，就缓存在内存中。无论是随机还是顺序，前提都是数据不止访问一次，否则不涉及缓存问题。
参考论文：The Five-Minute Rule Ten Years Later, and Other Computer Storage Rules of Thumb，论文成文于 1997 年，因此主要理解计算方法。
